متتاليات خاصة

أولاً: المتتالية الحسابية

أ- تعريف: نعرّف المتتالية الحسابية بأنها المتتالية التي ينتج كل حد فيها عن الحد الذي قبله بإضافة عدد ثابت ونقول عن هذا العدد الثابت بأنه أساس المتتالية الحسابية ونرمز له بـ S.

وبالتالي كأننا نعرّف المتتالية الحسابية بقاعدة ضمنية وذلك بالشكل

an+1 = an + S

الآن إذا أردنا حساب الحد النوني لهذه المتتالية عندئذ نكتب:

a2 = a1 + S

a3 = a2 + S = a1 + 2 . S

a4 = a3 + S = a1 + 3 . S

وهكذا حتى نصل إلى

an = a1 + (n + 1) . S

وبالتالي حتى تكون هذه المتتالية معرّفة تعريفاً وحيداً يجب معرفة الحد الأول a1 و أساس هذه المتتالية S.

مثال: أوجد الحد العام للمتتالية الحسابية المعطاة بالشكل:

{an} = {3, 5, 7, ... }

الحل: بملاحظة أن S = aI+1 - an = 5 - 3 = 2 ولدينا أيضاً a1 = 3 عندئذ فإن:

an = a1 + (n - 1 )S

= 3 + (n - 1) . 2 = 2n - 2 + 3 = 2n + 1

وهذه المتتالية تسمى متتالية الحدود الفردية.

ب- تعريف متتالية المجاميع الجزئية للمتتالية الحسابية: ونرمز لها بـ Sn وتعرّف بالشكل:

Sn = a1 + a2 + ... + an

الآن إذا أردنا كتابة حد عام لهذه المتتالية نلاحظ أن:

Sn = a1 + (a1 + S) + ... + (a1 + (n - 1) . S )

= n . a1 + [S + 2 . S + ... + (n - 1) . S ]

= n . a­1 + S [ 1 + 2 + ... + (n - 1 ) ]

الآن من أجل المقدار b = 1 + 2 + ... + (n - 1) لنلاحظ أن

 Þ 2b = b + b = n + n + n + ... + n

= n (n-1)

وبالتالي b = 

الآن لنعود إلى Sn فنجد أن

Sn = n . a1 + S . 

وهو الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية.

ويمكن أيضاً كتابته بالشكل Sn = n [ a1 + ]

مثال: بفرض المتتالية الحسابية التي حدها الأول a1 = 5 وأساسها S = 3 أوجد حدها العام ومجموعها حتى الحد العاشر

الحل: بملاحظة أن الحد العام يعطي بالشكل

an = 5 + (n - 1) . 3

Þ an = 3n + 2

والحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية لها تعطي بالعلاقة:

Sn = n [ 5 + ]

الآن إذا أردنا المجموع حتى الحد العاشر

S10 = 10 [ 5 + ] = 10 .  = 5 × 37 = 185

ثانياً:المتتالية الهندسية:

أ- تعريف: نعرّف المتتالية الهندسية بأنها المتتالية التي ينتج كل حد فيها عن الحد الذي قبله بضربه بعدد ثابت ونقول عن هذا العدد الثابت بأنه أساس المتتالية الهندسية ونرمز له بـ q.

وكأننا الآن عرّفنا هذه المتتالية بقاعدة ضمنية an+1 = q. an

وبالتالي إذا أردنا حساب حداً عاماً لهذه المتتالية نكتب:

a2 = q . a1 , a3 = q . a2 = q2.a1 , a4 = qa3 = q3 . a1

Þ an = qn-1 , a1

ويجب حتى يكون هذه المتتالية معرّفة بشكل كامل أن نعرف أساسها q وحدها الأول a1

مثال: اكتب الحد العام للمتتالية الهندسية المعطاة بالشكل:

{an} = {2, 6, 18, 54, ... ]

الحل: بملاحظة أن a1 = 2 , q = 

عندئذ فإن an = 3n-1 . 2 = 2 . 3n-1

وهو الحد العام للمتتالية الهندسية

ب- سنعرّف الآن متتالية المجاميع الجزئية المنتهية للمتتالية الهندسية وسنرمز لها بالشكل sn:

sn = a1 + .... + an

sn = a1 + q . a1 + .... + qn-1 . a1

sn = a1 [1 + q + q2 + . + qn-1 ] W1

الآن إذا ضربنا الطرفين بـ q نجد أن:

q . sn = a1[q + q2 + q3 + .... + qn ] W2

q sn - sn = a1qn - a1

الآن من W1 و W2

Þ sn (q - 1) = a1 (qn - 1) Þ sn = a1 

وأخيراً يمكن كتابتها بالشكل sn = a1 

أما من أجل q= 1 فإن sn = 

وهو الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية لهذه المتتالية.

مثال: بفرض المتتالية الهندسية التي حدها الاول a1 = 2 وأسالها q = 2 اوجد حدها العام ومجموعها حتى الحد العاشر

الحل: بملاحظة أن an = a1 . qn-1 Ü an = 2 . 2n-1 = 2n

وهو الحد العام لهذه المتتالية.

أما من أجل مجموعها حتى الحد النوني نكتب

sn = 2 . 

Þ sn = 2n+1 - 2

ومن أجل مجموعها حتى الحد العاشر نكتب

s10 = 211 - 2 = 2042 - 2 = 2040

وهو المطلوب.