كتاب "الرياضيات المتتاليات و المتسلسلات - العددية والتابعية" ، تأليف محمد مفيد القوصي ،والذي صدر عن دار مركز الكتاب الاكاديمي ، ومما جاء في مقدمة الكتاب :
أنت هنا
قراءة كتاب الرياضيات المتتاليات و المتسلسلات - العددية والتابعية
تنويه: تعرض هنا نبذة من اول ١٠ صفحات فقط من الكتاب الالكتروني، لقراءة الكتاب كاملا اضغط على الزر “اشتر الآن"
الرياضيات المتتاليات و المتسلسلات - العددية والتابعية
المتتاليات الجزئية
تعريف: إذا كانت لدنيا متتالية {an} حيث an: N ® R وكان لدنيا التطبيق nk: N ® G حيث G مجموعة جزئية من N عندئذ فإن
ank: G ® R
هي متتالية جزئية من المتتالية {an}
مثال: بفرض لدينا an = n2 وكان التطبيق nk: G ® N معرّفاً بالشكل nk= 2k + 1 عندئذ فإن ank = (2k + 1)2 وهي متتالية جزئية من المتتالية {an}.
مثال: an = (-1)n الآن بملاحظة nk: N ® G حيث nk = 2k
عندئذ فإن ank = (-1)2k = 1 وهي متتالية جزئية من an = (-1)n
ملاحظة هامة: إن مجموعة قيم المتتالية الجزئية هي مجموعة جزئية من المتتالية الأصلية.
أي أن {ank} Í {an}
مبرهنة -7-: إن الشرط اللازم والكافي لتقارب متتالية هو أن تتقارب كل متتالية جزئية منها نحو نفس العدد.
البرهان: اللزوم: إذا كانت أي متتالية جزئية من المتتالية الأصلية متقاربة عندئذ فإن المتتالية {an} متقاربة لأن أي متتالية جزئية من نفسها.
الكفاية: بفرض عندئذ وباعتبار {ank} حدود مختارة من المتتالية الأصلية {an} فإن:
|ank - a | < e Þ
النهاية العليا والنهاية الدنيا:
تعريف النهاية العليا: بفرض {an} هي متتالية جزئية من {an} حيث {ank} هي أكبر المتتاليات الجزئية من {an} عندئذ فإننا نقول أن
هي النهاية العليا للمتتالية {an}.
وتعرّف النهاية الدنيا للمتتالية {ank} بأنها نهاية أصغر متتالية جزئية ويرمز لها
مثال: بفرض لدينا المتتالية an = Sin الآن بملاحظة أن
a4n+1 = Sin (4n + 1) . = Sin [ 2p + ] = Sin = 1
وبالتالي:
بينما نلاحظ أن
=
مبرهنة -8-:إن الشرط اللازم والكافي لوجود هو أن يكون
البرهان: اللزوم: إذا كانت موجودة عندئذ فإن أي متتالية جزئية من {an} متقاربة نحو نفس العدد وفقاً للبرهنة -7- والتالي:
Lim ank
= Lim ank = a , Lim a¢nk =
Lim an
= a
Þ
Lim an
=
Lim an
الكفاية: بملاحظة أن a¢nk £ an £ ank
وبملاحظة من الفرض أن Lim a¢nk = Lim ank = a وبالتالي حسب الخاصية رقم -2- من خواص المقارنة نجد أن
المتتالية متقاربة نحو العدد a.
مبرهنة -9-: إذا كانت {an} متتالية متزايدة عندئذ فإن الشرط اللازم والكافي لتقارب {an} هو تقارب أي متتالية جزئية منها.
أي " أن تتقارب متتالية جزئية منها واحدة على الأقل ".
البرهان: إذا كانت {an} متزايدة وكانت {ank} متتالية جزئية منها متقاربة عندئذ فإن {ank} محدودة Ü {an} محدودة Ü {an} متقاربة.