سنعّرف الآن أبسط الكيانات التحليلية في علم التحليل الرياضي والتي لها تطبيقات مختلفة في كثير من الفروع الرياضية والفيزيائية والكيميائية.
تعريف المتتالية العددية: هي تطبيق منطلقة مجموعة الاعداد الطبيعية N ومستقرة مجموعة عددية أخرى. ونقول أن المتتالية العددية حقيقية إذا كان مستقرها هو مجموعة الأعداد الحقيقية R ويمكن ترميزها عندئذ بالشكل {an}: N ®R أما إذا كانت هذه المتتالية مستقرها مجموعة الأعداد العقدية - التخيلية فإننا نسميها متتالية عقدية أو تخيلية ونكتب {... zn}: lN ®
سنتعامل في هذا الكتاب مع متتاليات عددية حقيقية فقط ويتم تعريف المتتالية بواسطة ثلاثة طرق أساسية:
1- طريق الحد النوني - الحد العام -
في هذه الطريقة تعطى قاعدة ربط للمتتالية مثل an = وعندها تصبح مجموعة قيم هذه المتتالية:
{an} = {a1 = , a2 = , ... }
{an} = {, , , ... }
2- طريقة السرد: تعطى بهذه الطريقة المتتالية على شكل مجموعة مرتبة مثل:
{an} = {1, 3, 5, 7, 11, 13, ... }
وهي متتالية الأعداد الأولية.
ومن الجدير بالذكر أنه لا يمكن في الحالة العامة كتابة هذه المتتالية بطريقة الحد النوني.
3- طريقة الحد الضمني: تعطى بهذه الطريقة المتتالية بواسطة علاقة بين حدود لاحقة وحدود سابقة. مثال: an+1 = 2 + an
في هذه الحالة وحتى نستطيع التعريف عن المتتالية بشكل كامل لابد من وضع حدود ابتدائية معروفة مثل a1 فيصبح لدينا ما يلي:
إذا فرضنا a1 = 2 عندئذ نستطيع استنتاج حدود المتتالية جميعها من قاعدة الحد الضمني
a2 = a1 + 2 = 2 + 2 = 4
a3 = 2 + a2 = 2 + 2 + a1 = 3 . 2 = 6
a4 = a3 + 2 = 4 . 2 = 8
وهكذا وبالتالي {an} = {2, 4, 6, 8, ... }
وهي متتالية الأعداد الزوجية .
ويمكن في الحالة العامة إيجاد حد نوني لهذه المتتاليات بطرق حسابية بسيطة.
متتاليات خاصة
أولاً: المتتالية الحسابية
أ- تعريف: نعرّف المتتالية الحسابية بأنها المتتالية التي ينتج كل حد فيها عن الحد الذي قبله بإضافة عدد ثابت ونقول عن هذا العدد الثابت بأنه أساس المتتالية الحسابية ونرمز له بـ S.
وبالتالي كأننا نعرّف المتتالية الحسابية بقاعدة ضمنية وذلك بالشكل
an+1 = an + S
الآن إذا أردنا حساب الحد النوني لهذه المتتالية عندئذ نكتب:
a2 = a1 + S
a3 = a2 + S = a1 + 2 . S
a4 = a3 + S = a1 + 3 . S
وهكذا حتى نصل إلى
an = a1 + (n + 1) . S
وبالتالي حتى تكون هذه المتتالية معرّفة تعريفاً وحيداً يجب معرفة الحد الأول a1 و أساس هذه المتتالية S.
مثال: أوجد الحد العام للمتتالية الحسابية المعطاة بالشكل:
{an} = {3, 5, 7, ... }
الحل: بملاحظة أن S = aI+1 - an = 5 - 3 = 2 ولدينا أيضاً a1 = 3 عندئذ فإن:
an = a1 + (n - 1 )S
= 3 + (n - 1) . 2 = 2n - 2 + 3 = 2n + 1
وهذه المتتالية تسمى متتالية الحدود الفردية.
ب- تعريف متتالية المجاميع الجزئية للمتتالية الحسابية: ونرمز لها بـ Sn وتعرّف بالشكل:
Sn = a1 + a2 + ... + an
الآن إذا أردنا كتابة حد عام لهذه المتتالية نلاحظ أن:
Sn = a1 + (a1 + S) + ... + (a1 + (n - 1) . S )
= n . a1 + [S + 2 . S + ... + (n - 1) . S ]
= n . a1 + S [ 1 + 2 + ... + (n - 1 ) ]
الآن من أجل المقدار b = 1 + 2 + ... + (n - 1) لنلاحظ أن
Þ 2b = b + b = n + n + n + ... + n
= n (n-1)
وبالتالي b =
الآن لنعود إلى Sn فنجد أن
Sn = n . a1 + S .
وهو الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية.
ويمكن أيضاً كتابته بالشكل Sn = n [ a1 + ]
مثال: بفرض المتتالية الحسابية التي حدها الأول a1 = 5 وأساسها S = 3 أوجد حدها العام ومجموعها حتى الحد العاشر
الحل: بملاحظة أن الحد العام يعطي بالشكل
an = 5 + (n - 1) . 3
Þ an = 3n + 2
والحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية لها تعطي بالعلاقة:
Sn = n [ 5 + ]
الآن إذا أردنا المجموع حتى الحد العاشر
S10 = 10 [ 5 + ] = 10 . = 5 × 37 = 185
ثانياً:المتتالية الهندسية:
أ- تعريف: نعرّف المتتالية الهندسية بأنها المتتالية التي ينتج كل حد فيها عن الحد الذي قبله بضربه بعدد ثابت ونقول عن هذا العدد الثابت بأنه أساس المتتالية الهندسية ونرمز له بـ q.
وكأننا الآن عرّفنا هذه المتتالية بقاعدة ضمنية an+1 = q. an
وبالتالي إذا أردنا حساب حداً عاماً لهذه المتتالية نكتب:
a2 = q . a1 , a3 = q . a2 = q2.a1 , a4 = qa3 = q3 . a1
Þ an = qn-1 , a1
ويجب حتى يكون هذه المتتالية معرّفة بشكل كامل أن نعرف أساسها q وحدها الأول a1
مثال: اكتب الحد العام للمتتالية الهندسية المعطاة بالشكل:
{an} = {2, 6, 18, 54, ... ]
الحل: بملاحظة أن a1 = 2 , q =
عندئذ فإن an = 3n-1 . 2 = 2 . 3n-1
وهو الحد العام للمتتالية الهندسية
ب- سنعرّف الآن متتالية المجاميع الجزئية المنتهية للمتتالية الهندسية وسنرمز لها بالشكل sn:
sn = a1 + .... + an
sn = a1 + q . a1 + .... + qn-1 . a1
sn = a1 [1 + q + q2 + . + qn-1 ] W1
الآن إذا ضربنا الطرفين بـ q نجد أن:
q . sn = a1[q + q2 + q3 + .... + qn ] W2
q sn - sn = a1qn - a1
الآن من W1 و W2
Þ sn (q - 1) = a1 (qn - 1) Þ sn = a1
وأخيراً يمكن كتابتها بالشكل sn = a1
أما من أجل q= 1 فإن sn =
وهو الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية لهذه المتتالية.
مثال: بفرض المتتالية الهندسية التي حدها الاول a1 = 2 وأسالها q = 2 اوجد حدها العام ومجموعها حتى الحد العاشر
الحل: بملاحظة أن an = a1 . qn-1 Ü an = 2 . 2n-1 = 2n
وهو الحد العام لهذه المتتالية.
أما من أجل مجموعها حتى الحد النوني نكتب
sn = 2 .
Þ sn = 2n+1 - 2
ومن أجل مجموعها حتى الحد العاشر نكتب
s10 = 211 - 2 = 2042 - 2 = 2040
وهو المطلوب.
المتتاليات المحددة
أ- تعريف: نقول عن المتتالية {an} أنها محددة من الأعلى إذا وجد عدد مثل H بحيث:
$ n0 : n > n0 Þ an £ H
مثال: بملاحظة المتتالية {an} =
وأيضاً an =
وبالتالي فإن {an} محدودة من الأعلى بالعدد H = 1
ب- تعريف: نقول عن المتتالية أنها محدودة من الأدنى إذا وجد مثل L بحيث:
$n0: n > n0 Þ an ³ L
مثال: بملاحظة bn = نلاحظ أن هذه المتتالية محدودة من الأدنى بالصفر لأن 0 £ = bn
جـ- تعريف: نقول عن المتتالية {an} أنها محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومحدودة من الأدنى. ونقول أنها محدودة إذا وجد عدد مثل M بحيث
$n0: n > n0 Þ |an| £ M
وبالتالي يصبح لدينا
-M £ an £ M
مثال: المتتالية an = محدودة من الأعلى والأدنى أي محدودة وذلك لأن
|an| =
-1 < an < 1
المتتاليات المطردة
تنقسم المتتاليات المطردة إلى قسمين:
1- المتتاليات المتزايدة: نقول عن المتتالية {an} أنها متزايدة إذا كان
$n0: n > n0 Þ an+1 ³ an
ونقول أنها متزايدة تماماً إذا كان
$n0: n > n0 Þ an+1 > an
مثال: بفرض لدينا المتتالية an =
نلاحظ أن {an } = وأيضاً إذا نظرنا إلى المقدار
an+1 - an =
=
an+1 - an > 0
Þ an+1 > an
والمتتالية متزايدة
2- المتتاليات المتناقصة: نقول أن المتتالية {an} متتالية متناقصة إذا كان
$n0: n > n0 Þ an+1 £ an
ونقول أنها متناقصة تماماً إذا كان an+1 < an
مثال: بفرض المتتالية an = نلاحظ أن
an+1 - an =
= < 0 Þ an+1 < an
والمتتالية متناقصة.
المتتاليات المتقاربة
تعريف: نقول عن المتتالية {an} أنها متقاربة إذا كان
" e > 0 : $ N (e) : n > N (e)Þ |an - a| < e
ونقول عن العدد a أنه نهاية هذه المتتالية ونكتب
التفسير الهندسي لتعريف التقارب:
إذا وجد لكل عدد حقيقي موجب نختارة نحن (بصورة كيفية) عدداً طبيعياً تابعاً له N(e) بحيث أنه من أجل n أكبر من N(e) أي أن n بعد N(e) فإن المقدار an " حد المتتالية" قيمتها ستقترب قرباً كافياً من العدد a وهذا ما عبرنا عنه|an - a| < e
خواص المقارنة
1- إذا كانت لدينا و وكان an £ bn ولو بدءاً من حد معين عندئذ فإن £ .
2- إذا كان لدينا Cn £ an £ bn وكانت عندئذ فإن
في الواقع a - e £ Cn £ an £ bn £ a + e حسب تعريف تقارب {Cn}, {bn}
Þ |an - a| < e Þ
3- إذا وجدت فإن موجودة والعكس غير صحيح بالضرورة.
تنتج هذه الخاصية من ملاحظة أن | |an| - |a| | £ |an - a| < e
أما العكس فبملاحظة أن المتتالية an = (-1)n ليس لها نهاية بينما |an|=1 متقاربة لأنها ثابتة أي أن
ملاحظات هامة:
1- إن الشروط الواردة في فقرة (خواص نهاية المتتاليات) شروط كافية وليست لازمة أي انه إذا وجدت و فإن موجودة بينما إذا كانت موجود فقط تكون أو غير موجودتين وكذلك الأمر بالنسبة لـ أو أو
مثال: بفرض غير موجودة و نلاحظ أن
بفرض أيضاً غير موجودة و عندئذ فإن
حالات عدم التعيين:
إذا كنّا امام حساب نهاية متتالية عددية حقيقية ووجدنا إحدى الحالات التالية:
1¥ ,00 , ¥0
¥ - ¥
فإذا حصلنا على إحدى الحالات السابقة وجب علينا إزالتها مع ملاحظة أن إزالتها تعطي إما صفراً أو لا نهاية أو عدداً محدوداً.
أمثلة عامة:
1- احسب
بملاحظة أن لذلك يجب إزالة حالة عدم التعيين هذه.
2-احسب النهاية بملاحظة أن
3- احسب النهاية بملاحظة أن وهي حالة عدم تعيين.
وبشكل عام يمكن إيراد الخاصية التالية:
إذا كنا أمام النهاية
عندئذ فإنه لدينا 3 حالات:
1- L > m Ü
2- L = m Ü
3- L < m Ü
مبرهنة ستولتز: إذا كانت لدينا متتالية متزايدة {bn} وغير محدودة ومتتالية أخرى {an} بحيث عندئذ فإن:
البرهان: بفرض النهاية حيث a عدداً محدوداً عندئذ فإن
a - e < بدءاً من حد معين N
عندئذ يمكن الكتابة
الآن وحسب خواص النسبة
الآن بكتابة المقدار
£
وبملاحظة أن وبملاحظة أن {bn} متزايدة وغير محدودة عندئذ فإن
Þ
Þ
Þ =
ملاحظة: نستخدم مبرهنة ستولتز في الغالب لإزالة حالات عدم التعيين.
مثال: من أجل النهاية :
وهي حالة عدم تعيين يجب إزالتها
=
اللامتناهيات في الصغر واللامتناهيات في الكبر
تعريف: نقول عن المتتالية an } { أنها لا متناه في الصغر إذا كانت .
ونقول عن المتتالية {bn} أنها لا متناه في الكبر إذا كانت
خواص اللامتنايات في الكبر واللامتناهيات في الصغر
1- إن المجموع الجبري لعدد منته من اللامتناهيات في الصغر هو لا متناه في الصغر.
2- جداء متغير محدود في لا متناه في الصغر هو لا متناه في الصغر.
المتتاليات الجزئية
تعريف: إذا كانت لدنيا متتالية {an} حيث an: N ® R وكان لدنيا التطبيق nk: N ® G حيث G مجموعة جزئية من N عندئذ فإن
ank: G ® R
هي متتالية جزئية من المتتالية {an}
مثال: بفرض لدينا an = n2 وكان التطبيق nk: G ® N معرّفاً بالشكل nk= 2k + 1 عندئذ فإن ank = (2k + 1)2 وهي متتالية جزئية من المتتالية {an}.
مثال: an = (-1)n الآن بملاحظة nk: N ® G حيث nk = 2k
عندئذ فإن ank = (-1)2k = 1 وهي متتالية جزئية من an = (-1)n
ملاحظة هامة: إن مجموعة قيم المتتالية الجزئية هي مجموعة جزئية من المتتالية الأصلية.
أي أن {ank} Í {an}
مبرهنة -7-: إن الشرط اللازم والكافي لتقارب متتالية هو أن تتقارب كل متتالية جزئية منها نحو نفس العدد.
البرهان: اللزوم: إذا كانت أي متتالية جزئية من المتتالية الأصلية متقاربة عندئذ فإن المتتالية {an} متقاربة لأن أي متتالية جزئية من نفسها.
الكفاية: بفرض عندئذ وباعتبار {ank} حدود مختارة من المتتالية الأصلية {an} فإن:
|ank - a | < e Þ
النهاية العليا والنهاية الدنيا:
تعريف النهاية العليا: بفرض {an} هي متتالية جزئية من {an} حيث {ank} هي أكبر المتتاليات الجزئية من {an} عندئذ فإننا نقول أن
هي النهاية العليا للمتتالية {an}.
وتعرّف النهاية الدنيا للمتتالية {ank} بأنها نهاية أصغر متتالية جزئية ويرمز لها
مثال: بفرض لدينا المتتالية an = Sin الآن بملاحظة أن
a4n+1 = Sin (4n + 1) . = Sin [ 2p + ] = Sin = 1
وبالتالي:
بينما نلاحظ أن
=
مبرهنة -8-:إن الشرط اللازم والكافي لوجود هو أن يكون
البرهان: اللزوم: إذا كانت موجودة عندئذ فإن أي متتالية جزئية من {an} متقاربة نحو نفس العدد وفقاً للبرهنة -7- والتالي:
Lim ank
= Lim ank = a , Lim a¢nk =
Lim an
= a
Þ
Lim an
=
Lim an
الكفاية: بملاحظة أن a¢nk £ an £ ank
وبملاحظة من الفرض أن Lim a¢nk = Lim ank = a وبالتالي حسب الخاصية رقم -2- من خواص المقارنة نجد أن
المتتالية متقاربة نحو العدد a.
مبرهنة -9-: إذا كانت {an} متتالية متزايدة عندئذ فإن الشرط اللازم والكافي لتقارب {an} هو تقارب أي متتالية جزئية منها.
أي " أن تتقارب متتالية جزئية منها واحدة على الأقل ".
البرهان: إذا كانت {an} متزايدة وكانت {ank} متتالية جزئية منها متقاربة عندئذ فإن {ank} محدودة Ü {an} محدودة Ü {an} متقاربة.
المتتاليات الجزئية النظامية
تعريف: نقول عن مجموعة المتتاليات المعرّفة من أجل العدد (p) بالشكل:
an(1) = anp
an(2) = anp+1
بأنها متتاليات جزئية نظامية معرّفة على المتتالية {an} من أجل العدد الطبيعي p Î N : p
ملاحظة: إن المتتاليات الجزئية النظامية المعرّفة من أجل العدد p للمتتالية {an} يمثل تجزئة لمجموعة قيم المتتالية {an}.
أمثلة:
1- من أجل المتتالية an = (-1)n لدينا المتتاليات الجزئية النظامية من أجل p = 2 بالشكل
an (1) = a2n = (-1)2n = 1
an (2) = a2n+1 = (-1)2n+1 = -1
2- من أجل المتتالية an = Sin لدينا المتتاليات الجزئية النظامية من أجل p = 4 بالشكل:
an (1) = a4n = Sin
an (2) = a4n+1 = Sin ((4n+1) ) = 1
an (3) = a4n+2 = Sin((4n+2) ) =0
an (4) = a4n+3 = Sin ((4n + 3) . ) = -1
مبرهنة -10-: إن الشرط اللازم والكافي لكي تكون {an} متقاربة هو أن تكون المتتاليات الجزئية النظامية المعرّفة من أجل أي عدد p للمتتالية {an} متقاربة نحو عدد معين a.
المتتاليات الأساسية "متتاليات كوشي"
تعريف: نقول أن {an} هي متتالية كوشية إذا كانت:
" e > 0 : $ N(e): n ، m > N(e) Þ |an - am| < e
مفهوم تعريف كوشي: إن معنى أن تكون {an} كوشية هو أن يكون الفرق بين حدودها بدءاً من حد معين N(e) هو مقدار صغير جداً وأصغر من e.
يمكن صياغة شرط كوشي على الشكل:
" e > 0 : $ N(e): n > N(e) Þ |an + p - an| < e
وذلك مهما يكن العدد p الطبيعي.
مبرهنة هامة -11-: إن كل متتالية كوشية متقاربة وكل متتالية متقاربة كوشية.
البرهان: إذا كانت {an} كوشية فإن وحسب التعريف:
" e > 0 : $ N(e): n,m > N(e) Þ |an - am| < e
|an - am| = |an - a - am + a |
= | (an - a) - (am - a) | £ |an - a| + |am - a| <e
Þ | an - a| < e
المتتالية {an} متقاربة تعريفاً.
أما إذا كانت {an} متقاربة فإننا نستطيع الكتابة أن:
" e > 0 : $ N(e): n > N(e) Þ |an - a| < e/2
: m > N(e) Þ |an - a| < e/2
وبملاحظة أن |an - am| = |an - a - (am - a) | £
|an - a| + |am - a| < e
وهي كوشية تعريفاً.
مثال: برهن أن المتتالية an = كوشية حسب التعريف.
الآن بملاحظة المقدار |an + p - an| =
=
Þ
وباختيار N (e) = يكون قد تم التعريف.
ملاحظات هامة:
1- إن شرط كوشي في التقارب لا يستلزم معرفة نهاية المتتالية المدروسة.
2- يستخدم شرط كوشي في البراهين والحالات النظرية أكثر مما يستخدم في حل التمارين وذلك لوجود أساليب عملية أسهل لإيجاد النهايات.