Page 1
مقدمة عامة
نوجه هذا الكتاب لطلاب الاقتصاد فهو يشتمل على تلخيص للدروس،تمارين ومسائل محلولة .
يتكون هذا الكتاب من أربعة فصول تحتوي على التوابع ( الدوال) ذات متغير حقيقي وذات عدة متغيرات. كما يتناول حساب المصفوفات، التفاضل والتكامل، نظم المعادلات الخطية مع عدد غير معروف التكامل.
الغرض من هذا الكتاب هو إعطاء أداة يستخدمها التقني في المستقبل، لجميع الحسابات، لهذا السبب نعطي تمارين تطبيقية للطرق العامة في مجالات متنوعة مثل الاقتصاد. نسر على طرق الحساب، والنتائج بدلا من البراهين.
نبدأ في الفصل الأول بالطبع بالتوابع ( الدوال) ذات متغير حقيقي وذات عدة متغيرات التي كثيرا ما تستخدم لتمثيل الظواهر الفيزيائية : العلاقة بين درجة الحرارة، حجم السائل والضغط والجهد الكهربائي، وهناك تطبيقات أخرى من هذه مهمة جدا هو التغير في النشاط ، وحساب التكلفة والإنتاج، فهي أساسية في الاقتصاد .
هناك جزء كبير مخصص لحساب مصفوفة ونظم المعادلات الخطية مع عدة المجهولة.
يهتم الفصل الثاني بحساب مصفوفة ، هناك تطبيقات وهي التكلفة الحدية والمتوسطة التي تبدو أساسية في الاقتصاد.
سندرس في الفصل الثالث نظم المعادلات الخطية لعدة المجهولة، فهو ضروري لأنه يستعمل في الاقتصاد لحساب منافع متبادلة. كما سنتناول في الفصل الرابع حساب التكاملات، لأن حساب التفاضل والتكامل المعنية في كل مكان تقريبا : في الميكانيكا ، لحسابات مركز الثقل، قوة العمل أو طول مجالات، في الكهرباء للحسابات من أعباء الكهرباء، في الاقتصاد لحساب التكلفة الحدية والمتوسطة. وفي هذا الفصل الأخير ، سنتكلم بسرعة كاملة .
الفصل الأول: التوابع ذات متغير حقيقي
مقدمة : تستخدم الدوال لتمثيل الظواهر الفيزيائية: العلاقة يبن درجة الحرارة، حجم السائل والضغط و الجهد الكهربائي وغيرها. تطبيقات أخرى هامة لهذه الدوال هي التغير من الأعباء، حساب لتكلفة والإنتاج التي تعتبر أساسية في الاقتصاد. هذه الدوال قد تنشأ في إعطاء تغيير عدد من القيم لمتغير الدالة.
نوجه هذا الكتاب لطلاب الاقتصاد فهو يشتمل على تلخيص للدروس،تمارين ومسائل محلولة .
يتكون هذا الكتاب من أربعة فصول تحتوي على التوابع ( الدوال) ذات متغير حقيقي وذات عدة متغيرات. كما يتناول حساب المصفوفات، التفاضل والتكامل، نظم المعادلات الخطية مع عدد غير معروف التكامل.
الغرض من هذا الكتاب هو إعطاء أداة يستخدمها التقني في المستقبل، لجميع الحسابات، لهذا السبب نعطي تمارين تطبيقية للطرق العامة في مجالات متنوعة مثل الاقتصاد. نسر على طرق الحساب، والنتائج بدلا من البراهين.
نبدأ في الفصل الأول بالطبع بالتوابع ( الدوال) ذات متغير حقيقي وذات عدة متغيرات التي كثيرا ما تستخدم لتمثيل الظواهر الفيزيائية : العلاقة بين درجة الحرارة، حجم السائل والضغط والجهد الكهربائي، وهناك تطبيقات أخرى من هذه مهمة جدا هو التغير في النشاط ، وحساب التكلفة والإنتاج، فهي أساسية في الاقتصاد .
هناك جزء كبير مخصص لحساب مصفوفة ونظم المعادلات الخطية مع عدة المجهولة.
يهتم الفصل الثاني بحساب مصفوفة ، هناك تطبيقات وهي التكلفة الحدية والمتوسطة التي تبدو أساسية في الاقتصاد.
سندرس في الفصل الثالث نظم المعادلات الخطية لعدة المجهولة، فهو ضروري لأنه يستعمل في الاقتصاد لحساب منافع متبادلة. كما سنتناول في الفصل الرابع حساب التكاملات، لأن حساب التفاضل والتكامل المعنية في كل مكان تقريبا : في الميكانيكا ، لحسابات مركز الثقل، قوة العمل أو طول مجالات، في الكهرباء للحسابات من أعباء الكهرباء، في الاقتصاد لحساب التكلفة الحدية والمتوسطة. وفي هذا الفصل الأخير ، سنتكلم بسرعة كاملة .
الفصل الأول: التوابع ذات متغير حقيقي
مقدمة : تستخدم الدوال لتمثيل الظواهر الفيزيائية: العلاقة يبن درجة الحرارة، حجم السائل والضغط و الجهد الكهربائي وغيرها. تطبيقات أخرى هامة لهذه الدوال هي التغير من الأعباء، حساب لتكلفة والإنتاج التي تعتبر أساسية في الاقتصاد. هذه الدوال قد تنشأ في إعطاء تغيير عدد من القيم لمتغير الدالة.
Page 2
ا) الدوال العددية ذات متغير حقيقي
التمثيل البياني: يسمح مباشرة لقراءة التغيرات التطبيقات: التمثيل البياني
المثال I - 1 ( درجة الحرارة ) باستخدام الجدول التالي, مثل تغيرات درجة الحرارة اليومية
تطبيقات الدوال في الاقتصاد
المثال الأول. 2 ( الاقتصاد التطبيقي) : التكاليف المتغيرة أو التنفيذية
ويبين الجدول التالي التغيرات في التكاليف اعتمادا على تغيرات نشاط في ورشة .
في ورشة يتم إنتاج منتوجات. الدراسة لتكاليف لمختلف مستويات النشاط تبين ما يلي :
النظر في إنتاج أقل من 8000 وحدة. ويبدو:
-- إن بعض الأعباء المتغيرة: الاستهلاك من المواد واليد العاملة المباشرة تتغير نسبة لنشاط الورشة
نتحدث عن أعباء متغيرة أو التنفيذية لأنهم مرتبطون مع حجم مستوى النشاط. إن بعض الأعباء الثابتة: الاهتلاك في هذا المثال، لا تختلف عن مستويات النشاط إلى أقل من 8000.
نتحدث عن الأعباء الثابتة أو الهيكلية، لأنها تتعلق بهيكل معين؛
-- هذا وتختلف أعباء أخرى ولكن يبدو أنها تتغير دون أن تكون نسبية لمستويات النشاط فإنها في الواقع مزيج من التكاليف الثابتة والمتغيرة. نتحدث إذا عن الأعباء شبه المتغيرة
في الواقع الأعباء ليست ثابتة دائما أو نسبية، ولكن هذا التبسيط ضروري في بناء النماذج.
نرسم محورين وندرج المحور ثم نضع نقطة في كل مرة و من ثم نربط نقاط لرصد التغيرات. خلال الشكل 1 أدناه :
1 الشكل
مفهوم الدالة :
في المثال السابق, يمكن القول أن درجة الحرارة تختلف مع مرور الوقت.
التمثيل البياني: يسمح مباشرة لقراءة التغيرات التطبيقات: التمثيل البياني
المثال I - 1 ( درجة الحرارة ) باستخدام الجدول التالي, مثل تغيرات درجة الحرارة اليومية
تطبيقات الدوال في الاقتصاد
المثال الأول. 2 ( الاقتصاد التطبيقي) : التكاليف المتغيرة أو التنفيذية
ويبين الجدول التالي التغيرات في التكاليف اعتمادا على تغيرات نشاط في ورشة .
في ورشة يتم إنتاج منتوجات. الدراسة لتكاليف لمختلف مستويات النشاط تبين ما يلي :
النظر في إنتاج أقل من 8000 وحدة. ويبدو:
-- إن بعض الأعباء المتغيرة: الاستهلاك من المواد واليد العاملة المباشرة تتغير نسبة لنشاط الورشة
نتحدث عن أعباء متغيرة أو التنفيذية لأنهم مرتبطون مع حجم مستوى النشاط. إن بعض الأعباء الثابتة: الاهتلاك في هذا المثال، لا تختلف عن مستويات النشاط إلى أقل من 8000.
نتحدث عن الأعباء الثابتة أو الهيكلية، لأنها تتعلق بهيكل معين؛
-- هذا وتختلف أعباء أخرى ولكن يبدو أنها تتغير دون أن تكون نسبية لمستويات النشاط فإنها في الواقع مزيج من التكاليف الثابتة والمتغيرة. نتحدث إذا عن الأعباء شبه المتغيرة
في الواقع الأعباء ليست ثابتة دائما أو نسبية، ولكن هذا التبسيط ضروري في بناء النماذج.
نرسم محورين وندرج المحور ثم نضع نقطة في كل مرة و من ثم نربط نقاط لرصد التغيرات. خلال الشكل 1 أدناه :
1 الشكل
مفهوم الدالة :
في المثال السابق, يمكن القول أن درجة الحرارة تختلف مع مرور الوقت.
Page 3
y = a.x + b : 2 الدوال من النوع. I
ا) الرسم التطبيقي
علما أن المنحنى البياني عبارة عن مستقيم, يكفي تعيين نقطتان لرسمه، نختار النقطتان:
تسمى الترتيب b
: y = a.x + b 3 التفسيرات الاقتصادية للدوال من النوع. I
في الاقتصاد ، فيمكن أن تمثل هذه الدوال الأعباء شبة المتغيرة أو الأعباء الكلية
المثال الأول. 3 (التطبيق في الاقتصاد) : إننا سوف ندرس البيانات المحاسبية لتحديد العلاقة التي توجد بين الأعباء لفترة معينة ومستويات الأنشطة.
ولنفترض أن في أحد المصانع بيان أعباء الصيانة والإنتاج خلال 12 شهرا هي على النحو التالي:
: دينار جزائري ) دج (
الطريقة البيانية : نكون الرسم البياني الذي يحمل :
أرقام الإنتاج x'ox - في محور
المبالغ تكاليف الصيانة y'oy -- وفي محور
الخط المستقيم الانضمام إلى نقطتين تم الحصول عليها هو تغيير في أعباء الصيانة بدلالة الإنتاج.
التي تمثل تغيرات أعباء الصيانة على أساس الإنتاج. A ، 0)b) في نقطة هي y'oyإن تمديد الخط المستقيم يقطع في الواقع حجم أعباء الصيانة المقابلة لإنتاج الصفر.
نجد ل A قيمة 90.000 ألف دينار جزائري. والمنحدر من الخط ويظهر زيادة في التكاليف المتصلة
لزيادة الإنتاج ، وهي : 20،000الى 20،000 دينار جزائري وحدات
الغير مباشرة أعباء الصيانة : الشكل 2
قسم أعباء صيانة الوحدة للإنتاج يساوي :
20 000 دجَ : 20 000 = 1 دج
2) الحالات الخاصة
منحنها البياني هو عبارة عن مستقيم يمر بالمبدأ ، y = a.x الدالة تصبح b = 0
، منحنها البياني هو عبارة عن مستقيم موازي لمحورا لفواصل y = b الدالة تصبح a=0
منحنها البياني هو عبارة عن مستقيم موازي لمحورا لترتيب , x = - b/a الدالة تصبح y=0
y = b و y = a.x تطبيقات الاقتصاد للدوال
وحقه ممثل التكاليف المتغيرة. y = a.x الدالة تصبح b = 0
المثال الأول. 4 (من التكاليف المتغيرة) : ولنتأمل في المثال الأول.2 ، مجموع المواد واليد العاملة المباشرة.
: لدينا
ومن ثم فإن المعادلة والرسم البياني أدناه (على افتراض نموذج صالحة من 0 إلى 8000 وحدة )
الشكل 3
وحقها يمثل أعباء ثابتة. y = b ، ا لدالة تصبح a=0
على أعباء ثابتة): ولنتأمل في المثال أعلاه، الاستهلاك نراه ثابت ومن ثم المعادلة) 5. I مثال
والرسم البياني أدناه (على افتراض نموذج صالحة من 0 إلى 8000 وحدة )
الشكل 4
ملاحظة الأول. 1 ( الأعباء شبه متغيرة):
المثال الأول . 6 : ولنتأمل ، في المثال أعلاه ، وغيرها من الأعباء.
التمثيل البياني للتغيرات يبين أنه يتناول دالة من النوع y = a.x + b هي على استقامة واحدة. x = 4000, x = 5000, x = 6000 وبالفعل ، فإن ثلاث نقاط لممثل
البحث عن المعادلة :
الشكل 5
وأخيرا، نستطيع تقسيم هذه الأعباء شبه متغيرة إلى أعباء ثابتة قيمتها6000 دينار جزائري وأعباء متغيرة من 0.5 دينار جزائري لكل وحدة.
.4 التوابع من الشكل.I
ملاحظات:
الرسم البياني مستمرا ماعدا عند الصفر الذي يعدم المقام.
a في حالة سالب ونفس الإشارةa- من إشارة مختلفة في حالة
موجب.
. Oy الخطوط المقاربة هي من تتبع منحنى و
لذلك، حيث هي إيجابية أو سلبية، من منحنى على شكل (الأول) أو (الثاني):
(I)الشكل
الشكل (II)
ا) الرسم التطبيقي
علما أن المنحنى البياني عبارة عن مستقيم, يكفي تعيين نقطتان لرسمه، نختار النقطتان:
تسمى الترتيب b
: y = a.x + b 3 التفسيرات الاقتصادية للدوال من النوع. I
في الاقتصاد ، فيمكن أن تمثل هذه الدوال الأعباء شبة المتغيرة أو الأعباء الكلية
المثال الأول. 3 (التطبيق في الاقتصاد) : إننا سوف ندرس البيانات المحاسبية لتحديد العلاقة التي توجد بين الأعباء لفترة معينة ومستويات الأنشطة.
ولنفترض أن في أحد المصانع بيان أعباء الصيانة والإنتاج خلال 12 شهرا هي على النحو التالي:
: دينار جزائري ) دج (
الطريقة البيانية : نكون الرسم البياني الذي يحمل :
أرقام الإنتاج x'ox - في محور
المبالغ تكاليف الصيانة y'oy -- وفي محور
الخط المستقيم الانضمام إلى نقطتين تم الحصول عليها هو تغيير في أعباء الصيانة بدلالة الإنتاج.
التي تمثل تغيرات أعباء الصيانة على أساس الإنتاج. A ، 0)b) في نقطة هي y'oyإن تمديد الخط المستقيم يقطع في الواقع حجم أعباء الصيانة المقابلة لإنتاج الصفر.
نجد ل A قيمة 90.000 ألف دينار جزائري. والمنحدر من الخط ويظهر زيادة في التكاليف المتصلة
لزيادة الإنتاج ، وهي : 20،000الى 20،000 دينار جزائري وحدات
الغير مباشرة أعباء الصيانة : الشكل 2
قسم أعباء صيانة الوحدة للإنتاج يساوي :
20 000 دجَ : 20 000 = 1 دج
2) الحالات الخاصة
منحنها البياني هو عبارة عن مستقيم يمر بالمبدأ ، y = a.x الدالة تصبح b = 0
، منحنها البياني هو عبارة عن مستقيم موازي لمحورا لفواصل y = b الدالة تصبح a=0
منحنها البياني هو عبارة عن مستقيم موازي لمحورا لترتيب , x = - b/a الدالة تصبح y=0
y = b و y = a.x تطبيقات الاقتصاد للدوال
وحقه ممثل التكاليف المتغيرة. y = a.x الدالة تصبح b = 0
المثال الأول. 4 (من التكاليف المتغيرة) : ولنتأمل في المثال الأول.2 ، مجموع المواد واليد العاملة المباشرة.
: لدينا
ومن ثم فإن المعادلة والرسم البياني أدناه (على افتراض نموذج صالحة من 0 إلى 8000 وحدة )
الشكل 3
وحقها يمثل أعباء ثابتة. y = b ، ا لدالة تصبح a=0
على أعباء ثابتة): ولنتأمل في المثال أعلاه، الاستهلاك نراه ثابت ومن ثم المعادلة) 5. I مثال
والرسم البياني أدناه (على افتراض نموذج صالحة من 0 إلى 8000 وحدة )
الشكل 4
ملاحظة الأول. 1 ( الأعباء شبه متغيرة):
المثال الأول . 6 : ولنتأمل ، في المثال أعلاه ، وغيرها من الأعباء.
التمثيل البياني للتغيرات يبين أنه يتناول دالة من النوع y = a.x + b هي على استقامة واحدة. x = 4000, x = 5000, x = 6000 وبالفعل ، فإن ثلاث نقاط لممثل
البحث عن المعادلة :
الشكل 5
وأخيرا، نستطيع تقسيم هذه الأعباء شبه متغيرة إلى أعباء ثابتة قيمتها6000 دينار جزائري وأعباء متغيرة من 0.5 دينار جزائري لكل وحدة.
.4 التوابع من الشكل.I
ملاحظات:
الرسم البياني مستمرا ماعدا عند الصفر الذي يعدم المقام.
a في حالة سالب ونفس الإشارةa- من إشارة مختلفة في حالة
موجب.
. Oy الخطوط المقاربة هي من تتبع منحنى و
لذلك، حيث هي إيجابية أو سلبية، من منحنى على شكل (الأول) أو (الثاني):
(I)الشكل
الشكل (II)
Page 4
5 التفسيرات الاقتصادية للدوال من النوع. I
المثال الأول . 7 (وحدة من التكليف الثابت): ولنتأمل على سبيل المثال الأول. 4، الاهتلاك
نرى أنها ثابتة، وبالتالي المعادلة والرسم البياني أدناه (على افتراض أن نموذج صالحة من 0 إلى 8000 وحدة).
x=0, y = 0 وحدة التكليف الثابت ممثلة بفرع من غلو الخطوط المقاربة :
المثال الأول. 8 ( التكلفة المتوسطة ): ولنتأمل المثال التالي:
لدينا:
وحدة الأعباء المتغيرة : 38000/4000 = 47500/5000 = 57000/6000 = 9.5
(التكاليف المتغيرة + التكاليف الثابتة) y = a.x + b وتبلغ التكلفة الإجمالية
الشكل العام لمتوسط التكلفة هي :
y = ((a.x +b)/x)) = (a + b/x)
x = 0 و y = 9,5 ويبلغ متوسط التكلفة التي يمثلها فرع من غلو الخطوط المقاربة :
ومن ثم الرسم البياني أدناه :
الشكل 6: التلكفة المتوسطة
بعض الأمثلة من الأعباء شبه متغيرة:
المثال الأول. 9 (فاتورة الكهرباء لسونلغاز)
العبء المتغير هو استهلاك الطاقة، والعبء الثابت يتمثل في الرسم الثابت الموجود في فاتورة سونالغاز
المثال الأول. 10 (فاتورة الهاتف الخاص بمؤسسة اتصالات الجزائر):
الجزء المتغير يتمثل في استهلاك المكالمات الهاتفية والجزء الثابت يتمثل في الاشتراك والموجود في الفاتورة .
المثال الأول. 11 (: الراتب الأساسي + منحة) :
الجزء الثابت يتمثل في الراتب الأساسي والجزء المتغير يتمثل في مختلف المكافآت ، المنح والتعويضات.
المثال الأول . 7 (وحدة من التكليف الثابت): ولنتأمل على سبيل المثال الأول. 4، الاهتلاك
نرى أنها ثابتة، وبالتالي المعادلة والرسم البياني أدناه (على افتراض أن نموذج صالحة من 0 إلى 8000 وحدة).
x=0, y = 0 وحدة التكليف الثابت ممثلة بفرع من غلو الخطوط المقاربة :
المثال الأول. 8 ( التكلفة المتوسطة ): ولنتأمل المثال التالي:
لدينا:
وحدة الأعباء المتغيرة : 38000/4000 = 47500/5000 = 57000/6000 = 9.5
(التكاليف المتغيرة + التكاليف الثابتة) y = a.x + b وتبلغ التكلفة الإجمالية
الشكل العام لمتوسط التكلفة هي :
y = ((a.x +b)/x)) = (a + b/x)
x = 0 و y = 9,5 ويبلغ متوسط التكلفة التي يمثلها فرع من غلو الخطوط المقاربة :
ومن ثم الرسم البياني أدناه :
الشكل 6: التلكفة المتوسطة
بعض الأمثلة من الأعباء شبه متغيرة:
المثال الأول. 9 (فاتورة الكهرباء لسونلغاز)
العبء المتغير هو استهلاك الطاقة، والعبء الثابت يتمثل في الرسم الثابت الموجود في فاتورة سونالغاز
المثال الأول. 10 (فاتورة الهاتف الخاص بمؤسسة اتصالات الجزائر):
الجزء المتغير يتمثل في استهلاك المكالمات الهاتفية والجزء الثابت يتمثل في الاشتراك والموجود في الفاتورة .
المثال الأول. 11 (: الراتب الأساسي + منحة) :
الجزء الثابت يتمثل في الراتب الأساسي والجزء المتغير يتمثل في مختلف المكافآت ، المنح والتعويضات.
Page 5
تطبيقات لدراسة الدوال: الحل البياني
ا) حل المعادلة بيانيا :
والنظر في نقطة أو نقاط حيث f(x) = y. وهذا راجع إلى تمثيل بيانيا الدالة 0 = f(x) هي حل معادلة
وتقع هذه النقاط ، حيثما وجدت ، على محور الفواصل y = 0
المثال الأول. 12:
2 x 2 - 5x - 18 = 0 حل المعادلة بيانيا :
يمثل الرسم البياني من المعادلة المقترحة ، هو عبارة عن قطع مكافئ للقمة y = -2 x 2 - 5x - 18
(5 / 4، -21) (انظر الشكل 7).
وبالتالي الحلول هي :
، التي هي جذور المعادلة المقترحة x1 =) 9 / 2 و(x2 = -- 2
الشكل 7
ب) بيانيا حل نظام المعادلات
f(x) = 0و g(x) = 0هما المعادلات :
f(x) = g(x) = 0لحل هذه العودة لنظام الكتابة
والنظر في البنود فقط أو حيث Y1 = f(x) و Y2= g(x) ومن الممكن لتمثيل منحنيات
. هذه هي النقاط منحنيات المنافسة على حد سواء، حيث توجد، بالطبع. Y1 = Y2
المثال الأول. 13 :
x 2 = 0 et x = 0حل النظام
. وهذا هو الرسم للمنحنيات
Y1 =x 2 = 0 و y2 = x
وبالتالي الحلول هي النقاط التي هي جذور النظام المقترح ، وإما :
) ( أنظر الشكل 8)x1 = 0 وY1 = 0) أو (x2 = 1 وy2 = 1(
الشكل 8
ا) حل المعادلة بيانيا :
والنظر في نقطة أو نقاط حيث f(x) = y. وهذا راجع إلى تمثيل بيانيا الدالة 0 = f(x) هي حل معادلة
وتقع هذه النقاط ، حيثما وجدت ، على محور الفواصل y = 0
المثال الأول. 12:
2 x 2 - 5x - 18 = 0 حل المعادلة بيانيا :
يمثل الرسم البياني من المعادلة المقترحة ، هو عبارة عن قطع مكافئ للقمة y = -2 x 2 - 5x - 18
(5 / 4، -21) (انظر الشكل 7).
وبالتالي الحلول هي :
، التي هي جذور المعادلة المقترحة x1 =) 9 / 2 و(x2 = -- 2
الشكل 7
ب) بيانيا حل نظام المعادلات
f(x) = 0و g(x) = 0هما المعادلات :
f(x) = g(x) = 0لحل هذه العودة لنظام الكتابة
والنظر في البنود فقط أو حيث Y1 = f(x) و Y2= g(x) ومن الممكن لتمثيل منحنيات
. هذه هي النقاط منحنيات المنافسة على حد سواء، حيث توجد، بالطبع. Y1 = Y2
المثال الأول. 13 :
x 2 = 0 et x = 0حل النظام
. وهذا هو الرسم للمنحنيات
Y1 =x 2 = 0 و y2 = x
وبالتالي الحلول هي النقاط التي هي جذور النظام المقترح ، وإما :
) ( أنظر الشكل 8)x1 = 0 وY1 = 0) أو (x2 = 1 وy2 = 1(
الشكل 8
Page 6
من مفاهيم المشتقة ، التفاضلية ، مرونة والقيم الحدية لتابع
-- مشتق لتابع f في نقطة x0 (إن وجد) هو
المعرف ب :
-- إذا كان ا لتابع f قابل للاشتقاق ، التفاضلية ا لتابعf التي نرمز لها ب dy ويعرف عن طريق ما يلي :
-- إذا كان ا لتابع f قابل للاشتقاق، مرونة ا لتابعf عند نقطة حيث y ≠ 0 هي الكمية:
لدينا:
الخواص الأساسية للاشتقاق
إذا كان f و g تابعان وλ ، μ اثنين من الثوابت. ثم :
(λ .f(x) + µ. g(x)) ´ = λ. f ´ (x) + µ. g´ (x).
(f. g) ´ = f ´. g + f. g´ , (f /g ) ´ = ( f ´. g – f . g´ ) / g 2 (x) ز g(x)≠ 0.
أو d (f .g) = g.df + f. dg , d (f /g ) = (g.df - f . dg ) / g 2 ز g(x) ≠ 0.
f ´ (x) ≥ 0 , مهما كان x € I متزايدة على مجال إذا ا كانf
f ´ (x) ≤ 0 , مهما كان x € I متناقصة على مجال إذا ا كانf
قابل للاشتقاق مرتين والمشتق من الرتبة الثانية مستمر و f إذا ا كان
لدينا f ´ (x0) = 0
f ´´ (x0) › 0 إذا ا كان x0 له حد أدنى عند نقطة f -
f ´´ (x0) ‹ 0 إذا ا كان x0 له حد أقصى عند نقطة f -
-- مشتق لتابع f في نقطة x0 (إن وجد) هو
المعرف ب :
-- إذا كان ا لتابع f قابل للاشتقاق ، التفاضلية ا لتابعf التي نرمز لها ب dy ويعرف عن طريق ما يلي :
-- إذا كان ا لتابع f قابل للاشتقاق، مرونة ا لتابعf عند نقطة حيث y ≠ 0 هي الكمية:
لدينا:
الخواص الأساسية للاشتقاق
إذا كان f و g تابعان وλ ، μ اثنين من الثوابت. ثم :
(λ .f(x) + µ. g(x)) ´ = λ. f ´ (x) + µ. g´ (x).
(f. g) ´ = f ´. g + f. g´ , (f /g ) ´ = ( f ´. g – f . g´ ) / g 2 (x) ز g(x)≠ 0.
أو d (f .g) = g.df + f. dg , d (f /g ) = (g.df - f . dg ) / g 2 ز g(x) ≠ 0.
f ´ (x) ≥ 0 , مهما كان x € I متزايدة على مجال إذا ا كانf
f ´ (x) ≤ 0 , مهما كان x € I متناقصة على مجال إذا ا كانf
قابل للاشتقاق مرتين والمشتق من الرتبة الثانية مستمر و f إذا ا كان
لدينا f ´ (x0) = 0
f ´´ (x0) › 0 إذا ا كان x0 له حد أدنى عند نقطة f -
f ´´ (x0) ‹ 0 إذا ا كان x0 له حد أقصى عند نقطة f -
Page 7
المشتقات لبعض التوابع الأولية
باء). التوابع ذات متغيران حقيقيان
ونكتب z العدد ( x , y )ن يرفق لكل تابع ذو متغيران حقيقيا
(x, y) € IR 2 → z = f (x, y) € IR.
مفاهيم المشتق الجزئي مشتق و نقطة ثابتة لتابع ذو متغيران
بالنسبة للمتغير الأول (إن وجد) معرف ب: f المشتق الجزئي لتابع -
بالنسبة للمتغير الثاني (إن وجد) معرف ب: f المشتق الجزئي لتابع -
معرف ب: f النقاط الثابتة لتابع -
: حل لمجموعة معادلتين ( x , y ) يعني هي النقاط التي تعدم
تطبيقات التوابع ذات متغيران حقيقيان في الاقتصاد
المثال الأول. 14 (تطبيق في الاقتصاد) : حالة الإنتاج بدلالة رأس المال والعمل :
تمثل على الترتيب العمل. رأس المال و دالة الإنتاج وحيث Q, K و L حيثQ = f ( K , L) ليكن
تمثل على الترتيب مرونة الناتج بالنسبة إلى العمل، مرونة الناتج بالنسبة لرأس المال A,
و التقدم التقني
في المثال السابق، يمكننا القول أن الإنتاج يتغير بدلالة رأس المال و العمل ويختلف اعتمادا على رأس المال والعمل. وهذا يعني أن نطاق الأداء. لذا يتعين علينا:نرمز لنسبة الغلة بالرمز:
-- وإذا كان أكثر من 1 ، هو زيادة الغلة
-- وإذا كان أقل من 1 ، منخفضة الغلة
-- إذا كان يساوي 1 ، عائد مستمر
ليكن :
باء). التوابع ذات متغيران حقيقيان
ونكتب z العدد ( x , y )ن يرفق لكل تابع ذو متغيران حقيقيا
(x, y) € IR 2 → z = f (x, y) € IR.
مفاهيم المشتق الجزئي مشتق و نقطة ثابتة لتابع ذو متغيران
بالنسبة للمتغير الأول (إن وجد) معرف ب: f المشتق الجزئي لتابع -
بالنسبة للمتغير الثاني (إن وجد) معرف ب: f المشتق الجزئي لتابع -
معرف ب: f النقاط الثابتة لتابع -
: حل لمجموعة معادلتين ( x , y ) يعني هي النقاط التي تعدم
تطبيقات التوابع ذات متغيران حقيقيان في الاقتصاد
المثال الأول. 14 (تطبيق في الاقتصاد) : حالة الإنتاج بدلالة رأس المال والعمل :
تمثل على الترتيب العمل. رأس المال و دالة الإنتاج وحيث Q, K و L حيثQ = f ( K , L) ليكن
تمثل على الترتيب مرونة الناتج بالنسبة إلى العمل، مرونة الناتج بالنسبة لرأس المال A,
و التقدم التقني
في المثال السابق، يمكننا القول أن الإنتاج يتغير بدلالة رأس المال و العمل ويختلف اعتمادا على رأس المال والعمل. وهذا يعني أن نطاق الأداء. لذا يتعين علينا:نرمز لنسبة الغلة بالرمز:
-- وإذا كان أكثر من 1 ، هو زيادة الغلة
-- وإذا كان أقل من 1 ، منخفضة الغلة
-- إذا كان يساوي 1 ، عائد مستمر
ليكن :
Page 8
تمارين الفصل الأول
: بالنسبة للتوابع التالية E أحسب المرونة: I I I التمرين
للتوابع ذات متغيران عين النقاط الثابتة: IV التمرين
a) (x, y) → f ( x , y ) = 4 x 2 + 2 x y + y 2
b) (x, y) → f ( x , y ) = - x 2 + x - x y + y - y 2
c) ( x , y ) → f ( x , y ) = x 2 + 6 x y + 9 y 2
: V التمرين
ا) حل نظام المعادلات بيانيا :
ب) حل المعادلة بيانيا :
- 2 x 2 - x + 10 = 0.
حلول تمارين الفصل الأول
: I التمرين
: I I التمرين
d y = 7x 6 dx ; (2/3)x (-1/3) dx ;
e (2 x + 1) + x . (2) e (2 x + 1) dx = (1 + 2 x) e (2 x + 1) dx
: I I I التمرين
: IV التمرين
: المعرف ب للتابع ( x , y ) النقاط الثابتة ا)
( x , y ) → f ( x , y ) = 4 x 2 + 2 x y + y 2
هي حل نظام المعادلات x و y إحداثياتها
( 8 x + 2 y = 0 , 2 x + 2 y = 0 ) :يكافئ
(x = 0 , y = 0 ) : وبالتالي توجد نقطة ثابتة وحيدة
:المعرف ب للتابع ( x , y ) النقاط الثابتة ب)
( x , y ) → f ( x , y ) = - x 2 + x - x y + y –y 2
هي حل نظام المعادلات x و y إحداثياتها
( -2 x - y + 1 = 0 , - x - 2 y + 1 = 0 ) :يكافئ
(x = 1/2 , y = 1/2 ): وبالتالي توجد نقطة ثابتة وحيدة
:للتابع المعرف ب ( x , y ) النقاط الثابتة ج)
( x , y ) → f ( x , y ) = x 2 + 6 x y + 9 y 2
هي حل نظام المعادلات x و y إحداثياتها
(2 x + 6 y = 0 , 6 x + 18 y = 0 ):يكافئ
y € IR حيث (- 3 y, y ): وبالتالي يوجد عدد غير منته من الحلول
عدد غير منته من النقاط الثابتة وموجودة على المستقيم لهf ( x , y ) = x 2 + 6 x y + 9 y 2
y = -(1/2 ).x
: V التمرين
(أنظر الرسم 9) y = 2 x - 1 و y = (11 – x)/3 : ننشئ المستقيمان ا)
الحل هوا لنقاط المناسبة لجذور نظام المعادلات ونجد
x = 2 و y = 3.
الشكل 9
(أنظر الرسم 10) y = ( x / 4) - ( 3 / 4) و y = (3 x / 4) + ( 11 / 4): ننشئ المستقيمان ا)
الحل هو ا لنقاط المناسبة لجذور نظام المعادلات ونجد
x = -7 و y = - 5 / 2 .
(أنظر الرسم 11) y1 = 2 x 2 – 4 x et y2 = x 2 – 4 : ننشئ المنحنيان ا)
الحل هو النقاط المناسبة لجذور نظام المعادلات ونجد الجدر المضاعف
x = 2 et y = 0.
2 X
الشكل 11
ب)
التي هي قطع مكافئ للقمة (y = -2 x 2 - x + 10 : ننشئ المنحنى الممثل للمعادلة
(أنظر السم 13)( ½ , -2.(1/4) –(1/2) + 10(
الحل هوا لنقاط المناسبة لجذور نظام المعادلات ونجد الجذور
x1 = -(5/2) et x2 = 2.
الشكل 12
: بالنسبة للتوابع التالية E أحسب المرونة: I I I التمرين
للتوابع ذات متغيران عين النقاط الثابتة: IV التمرين
a) (x, y) → f ( x , y ) = 4 x 2 + 2 x y + y 2
b) (x, y) → f ( x , y ) = - x 2 + x - x y + y - y 2
c) ( x , y ) → f ( x , y ) = x 2 + 6 x y + 9 y 2
: V التمرين
ا) حل نظام المعادلات بيانيا :
ب) حل المعادلة بيانيا :
- 2 x 2 - x + 10 = 0.
حلول تمارين الفصل الأول
: I التمرين
: I I التمرين
d y = 7x 6 dx ; (2/3)x (-1/3) dx ;
e (2 x + 1) + x . (2) e (2 x + 1) dx = (1 + 2 x) e (2 x + 1) dx
: I I I التمرين
: IV التمرين
: المعرف ب للتابع ( x , y ) النقاط الثابتة ا)
( x , y ) → f ( x , y ) = 4 x 2 + 2 x y + y 2
هي حل نظام المعادلات x و y إحداثياتها
( 8 x + 2 y = 0 , 2 x + 2 y = 0 ) :يكافئ
(x = 0 , y = 0 ) : وبالتالي توجد نقطة ثابتة وحيدة
:المعرف ب للتابع ( x , y ) النقاط الثابتة ب)
( x , y ) → f ( x , y ) = - x 2 + x - x y + y –y 2
هي حل نظام المعادلات x و y إحداثياتها
( -2 x - y + 1 = 0 , - x - 2 y + 1 = 0 ) :يكافئ
(x = 1/2 , y = 1/2 ): وبالتالي توجد نقطة ثابتة وحيدة
:للتابع المعرف ب ( x , y ) النقاط الثابتة ج)
( x , y ) → f ( x , y ) = x 2 + 6 x y + 9 y 2
هي حل نظام المعادلات x و y إحداثياتها
(2 x + 6 y = 0 , 6 x + 18 y = 0 ):يكافئ
y € IR حيث (- 3 y, y ): وبالتالي يوجد عدد غير منته من الحلول
عدد غير منته من النقاط الثابتة وموجودة على المستقيم لهf ( x , y ) = x 2 + 6 x y + 9 y 2
y = -(1/2 ).x
: V التمرين
(أنظر الرسم 9) y = 2 x - 1 و y = (11 – x)/3 : ننشئ المستقيمان ا)
الحل هوا لنقاط المناسبة لجذور نظام المعادلات ونجد
x = 2 و y = 3.
الشكل 9
(أنظر الرسم 10) y = ( x / 4) - ( 3 / 4) و y = (3 x / 4) + ( 11 / 4): ننشئ المستقيمان ا)
الحل هو ا لنقاط المناسبة لجذور نظام المعادلات ونجد
x = -7 و y = - 5 / 2 .
(أنظر الرسم 11) y1 = 2 x 2 – 4 x et y2 = x 2 – 4 : ننشئ المنحنيان ا)
الحل هو النقاط المناسبة لجذور نظام المعادلات ونجد الجدر المضاعف
x = 2 et y = 0.
2 X
الشكل 11
ب)
التي هي قطع مكافئ للقمة (y = -2 x 2 - x + 10 : ننشئ المنحنى الممثل للمعادلة
(أنظر السم 13)( ½ , -2.(1/4) –(1/2) + 10(
الحل هوا لنقاط المناسبة لجذور نظام المعادلات ونجد الجذور
x1 = -(5/2) et x2 = 2.
الشكل 12
Page 9
الفصل الثاني: حساب المصفوفة
مقدمة
هذا الفصل من الضروري، لأن حساب المصفوفة يستعمل في المحاسبة التحليلية لحساب الأسعار والتكاليف. آخر بالغ الأهمية لحساب المصفوفة هو حساب الأسعار ودوران.
وهي عبارة عن مجموعة ذات M(m, n) ) ونرمز لها بm, n) نستخدم مصفوفة من الشكل -
خط n عمود وm أعداد حقيقية مرتبة في مجموعة من مستطيل متكون من (m. n)
ويمثل هذا عن طريق ما يلي :
حيث خطوطهاM t ، نرمز لها ب (n, m) هي مصفوفة من الشكل M(m, n)- منقول مصفوفة
M وأعمدتها هي منقول خطوط Mأعمدة هي منقول أعمدة
لدينا:
الخواص الأساسية للمصفوفات
-- جمع المصفوفة:
عبارة عن مصفوفة من نفس الشكل ومعرفة ب : )A + B(
-- جداء المصفوفة :
يساوي A يكون معرف إذا كان عدد أعمدة A×B الذي نرمز له بA و B جداء مصفوفتان
. B عدد خطوط
إذا ا كان A و B عبارة عن مصفوفتين B (n, p)و A (m, n) في هده الحالة A×B هي عبارة عن مصفوفة B(m, p) حيث الحد العام (m, p)من الشكل cij حيث iهو جداء الخط ل A مع العمود j لB .
-- جداء مصفوفة مع سلمي : إذا كان :
.λ A = (λ.aij) وحيث (m, n) هي مصفوفة من الشكلλ A فان A (m, n) = (aij) و (λ Є IR)
وبالتالي : V (1, n) -- جداء شعاع مع مصفوفة : شعاع خطي هو مصفوفة
جداء شعاع مع مصفوفة هو حالة خاصة من جداء المصفوفة.
-- المصفوفات الخاصة:
. مصفوفة الوحدة:
مصفوفة الوحدة هي مصفوفة حيث جميع العناصر تساوي صفر والعناصر القطرية تساوي 1.
. المصفوفة العادية:
حيث : A عادية أو قابلة للعكس إذا كان هناك مصفوفة Bمصفوفة
مصفوفة الوحدة.In و حيث
. مساعد مصفوفة لمصفوفة مربعة من أجل 2 :
. (ad – bc) هو العدد M (2,2) . محددا مصفوفة مربعة من أجل 2 : محدد المصفوفة
عكس لمصفوفة مربعة : إذا كان محدد المصفوفة غير معدوم فان المصفوفة قابلة للعكس وعكسها هو:
M -1 (2,2) = (adj M)/det M.
مقدمة
هذا الفصل من الضروري، لأن حساب المصفوفة يستعمل في المحاسبة التحليلية لحساب الأسعار والتكاليف. آخر بالغ الأهمية لحساب المصفوفة هو حساب الأسعار ودوران.
وهي عبارة عن مجموعة ذات M(m, n) ) ونرمز لها بm, n) نستخدم مصفوفة من الشكل -
خط n عمود وm أعداد حقيقية مرتبة في مجموعة من مستطيل متكون من (m. n)
ويمثل هذا عن طريق ما يلي :
حيث خطوطهاM t ، نرمز لها ب (n, m) هي مصفوفة من الشكل M(m, n)- منقول مصفوفة
M وأعمدتها هي منقول خطوط Mأعمدة هي منقول أعمدة
لدينا:
الخواص الأساسية للمصفوفات
-- جمع المصفوفة:
عبارة عن مصفوفة من نفس الشكل ومعرفة ب : )A + B(
-- جداء المصفوفة :
يساوي A يكون معرف إذا كان عدد أعمدة A×B الذي نرمز له بA و B جداء مصفوفتان
. B عدد خطوط
إذا ا كان A و B عبارة عن مصفوفتين B (n, p)و A (m, n) في هده الحالة A×B هي عبارة عن مصفوفة B(m, p) حيث الحد العام (m, p)من الشكل cij حيث iهو جداء الخط ل A مع العمود j لB .
-- جداء مصفوفة مع سلمي : إذا كان :
.λ A = (λ.aij) وحيث (m, n) هي مصفوفة من الشكلλ A فان A (m, n) = (aij) و (λ Є IR)
وبالتالي : V (1, n) -- جداء شعاع مع مصفوفة : شعاع خطي هو مصفوفة
جداء شعاع مع مصفوفة هو حالة خاصة من جداء المصفوفة.
-- المصفوفات الخاصة:
. مصفوفة الوحدة:
مصفوفة الوحدة هي مصفوفة حيث جميع العناصر تساوي صفر والعناصر القطرية تساوي 1.
. المصفوفة العادية:
حيث : A عادية أو قابلة للعكس إذا كان هناك مصفوفة Bمصفوفة
مصفوفة الوحدة.In و حيث
. مساعد مصفوفة لمصفوفة مربعة من أجل 2 :
. (ad – bc) هو العدد M (2,2) . محددا مصفوفة مربعة من أجل 2 : محدد المصفوفة
عكس لمصفوفة مربعة : إذا كان محدد المصفوفة غير معدوم فان المصفوفة قابلة للعكس وعكسها هو:
M -1 (2,2) = (adj M)/det M.
Page 10
تطبيقات لحساب المصفوفة في الاقتصاد
المثال الثاني.1 : حساب الأسعار ودوران :
المثال الثاني.1.1 : التسعير :
هناك شركة لتوزيع الوقود يوصي على بضاعة من شركة التعدين :
2 طن من فحم الكوك ، 1 طن من الطوب ، 3 طن من أنثراسايت.
السعر للطن الواحد هي :
فحم الكوك : 800 ؛ قوالب : 1 000 الفحم : 1 200.
العمل المطلوب :
حساب السعر الإجمالي على الدفع.
الحل : ليكن :
المثال الثاني.1.2 : إحصاءات الأسعار ودوران :
شركة تقوم بتصنيع السكاكين. إنتاجها يتألف في المقام الأول من3 أنواع من البنود المشار إليها
، C1 ، C2 ، C3 وC4 ، والطلب من 4 عملاء A1 ، A2 ، A3.
أسعار 1000 أجزاء على التوالي هي :
A1, A2 و A3 : 1 000 f, 2 000 f و8 000 f.
طلبات العملاء هي كما يلي (بآلاف الوحدات) :
C1 للزبون : 7 ، 2.0 ،
C2للزبون : 8 ، 1.2 ،
C3 : 6 ، 0.0 ،
C4 : 3 ، 0.8 ،
العمل المطلوب
1) احسب الثمن الواجب دفعه لقاء لكل عميل.
2) حساب مجموع الكميات التي يتعين أداؤها.
3) احسب بطريقتي الدخل الإجمالي الدخل للشركة من هذه العملية
الحل:
1) الأسعار التي يدفعها العميل :
العرض الأول : جداء الأشعة :
3) الدخل الإجمالي
*الحل الأول:
* الحل الثاني
46 000 + 66 000 + 36 000 + 82 000 = 230 000
المثال الثاني.1 : حساب الأسعار ودوران :
المثال الثاني.1.1 : التسعير :
هناك شركة لتوزيع الوقود يوصي على بضاعة من شركة التعدين :
2 طن من فحم الكوك ، 1 طن من الطوب ، 3 طن من أنثراسايت.
السعر للطن الواحد هي :
فحم الكوك : 800 ؛ قوالب : 1 000 الفحم : 1 200.
العمل المطلوب :
حساب السعر الإجمالي على الدفع.
الحل : ليكن :
المثال الثاني.1.2 : إحصاءات الأسعار ودوران :
شركة تقوم بتصنيع السكاكين. إنتاجها يتألف في المقام الأول من3 أنواع من البنود المشار إليها
، C1 ، C2 ، C3 وC4 ، والطلب من 4 عملاء A1 ، A2 ، A3.
أسعار 1000 أجزاء على التوالي هي :
A1, A2 و A3 : 1 000 f, 2 000 f و8 000 f.
طلبات العملاء هي كما يلي (بآلاف الوحدات) :
C1 للزبون : 7 ، 2.0 ،
C2للزبون : 8 ، 1.2 ،
C3 : 6 ، 0.0 ،
C4 : 3 ، 0.8 ،
العمل المطلوب
1) احسب الثمن الواجب دفعه لقاء لكل عميل.
2) حساب مجموع الكميات التي يتعين أداؤها.
3) احسب بطريقتي الدخل الإجمالي الدخل للشركة من هذه العملية
الحل:
1) الأسعار التي يدفعها العميل :
العرض الأول : جداء الأشعة :
3) الدخل الإجمالي
*الحل الأول:
* الحل الثاني
46 000 + 66 000 + 36 000 + 82 000 = 230 000