المتتاليات الجزئية

تعريف: إذا كانت لدنيا متتالية {an} حيث an: N ® R وكان لدنيا التطبيق nk: N ® G حيث G مجموعة جزئية من N عندئذ فإن

ank: G ® R

هي متتالية جزئية من المتتالية {an}

مثال: بفرض لدينا an = n2 وكان التطبيق nk: G ® N معرّفاً بالشكل nk= 2k + 1 عندئذ فإن ank = (2k + 1)2 وهي متتالية جزئية من المتتالية {an}.

مثال: an = (-1)n الآن بملاحظة nk: N ® G حيث nk = 2k

عندئذ فإن ank = (-1)2k = 1 وهي متتالية جزئية من an = (-1)n

ملاحظة هامة: إن مجموعة قيم المتتالية الجزئية هي مجموعة جزئية من المتتالية الأصلية.

أي أن {ank} Í {an}

مبرهنة -7-: إن الشرط اللازم والكافي لتقارب متتالية هو أن تتقارب كل متتالية جزئية منها نحو نفس العدد.

البرهان: اللزوم: إذا كانت أي متتالية جزئية من المتتالية الأصلية متقاربة عندئذ فإن المتتالية {an} متقاربة لأن أي متتالية جزئية من نفسها.

الكفاية: بفرض  عندئذ وباعتبار {ank} حدود مختارة من المتتالية الأصلية {an} فإن:

|ank - a | < e Þ 

النهاية العليا والنهاية الدنيا:

تعريف النهاية العليا: بفرض {an} هي متتالية جزئية من {an} حيث {ank} هي أكبر المتتاليات الجزئية من {an} عندئذ فإننا نقول أن

هي النهاية العليا للمتتالية {an}.

وتعرّف النهاية الدنيا للمتتالية {ank} بأنها نهاية أصغر متتالية جزئية ويرمز لها

مثال: بفرض لدينا المتتالية an = Sin الآن بملاحظة أن

a4n+1 = Sin (4n + 1) .  = Sin [ 2p +  ] = Sin = 1

وبالتالي: 

بينما نلاحظ أن 

= 

مبرهنة -8-:إن الشرط اللازم والكافي لوجود هو أن يكون

البرهان: اللزوم: إذا كانت  موجودة عندئذ فإن أي متتالية جزئية من {an} متقاربة نحو نفس العدد وفقاً للبرهنة -7- والتالي:

Lim ank

= Lim ank = a , Lim a¢nk =

Lim an

= a

Þ

Lim an

=

Lim an

الكفاية: بملاحظة أن a¢nk £ an £ ank

وبملاحظة من الفرض أن Lim a¢nk = Lim ank = a وبالتالي حسب الخاصية رقم -2- من خواص المقارنة نجد أن 

المتتالية متقاربة نحو العدد a.

مبرهنة -9-: إذا كانت {an} متتالية متزايدة عندئذ فإن الشرط اللازم والكافي لتقارب {an} هو تقارب أي متتالية جزئية منها.

أي " أن تتقارب متتالية جزئية منها واحدة على الأقل ".

البرهان: إذا كانت {an} متزايدة وكانت {ank} متتالية جزئية منها متقاربة عندئذ فإن {ank} محدودة Ü {an} محدودة Ü {an} متقاربة.