المتتاليات الأساسية "متتاليات كوشي"
تعريف: نقول أن {an} هي متتالية كوشية إذا كانت:
" e > 0 : $ N(e): n ، m > N(e) Þ |an - am| < e
مفهوم تعريف كوشي: إن معنى أن تكون {an} كوشية هو أن يكون الفرق بين حدودها بدءاً من حد معين N(e) هو مقدار صغير جداً وأصغر من e.
يمكن صياغة شرط كوشي على الشكل:
" e > 0 : $ N(e): n > N(e) Þ |an + p - an| < e
وذلك مهما يكن العدد p الطبيعي.
مبرهنة هامة -11-: إن كل متتالية كوشية متقاربة وكل متتالية متقاربة كوشية.
البرهان: إذا كانت {an} كوشية فإن وحسب التعريف:
" e > 0 : $ N(e): n,m > N(e) Þ |an - am| < e
|an - am| = |an - a - am + a |
= | (an - a) - (am - a) | £ |an - a| + |am - a| <e
Þ | an - a| < e
المتتالية {an} متقاربة تعريفاً.
أما إذا كانت {an} متقاربة فإننا نستطيع الكتابة أن:
" e > 0 : $ N(e): n > N(e) Þ |an - a| < e/2
: m > N(e) Þ |an - a| < e/2
وبملاحظة أن |an - am| = |an - a - (am - a) | £
|an - a| + |am - a| < e
وهي كوشية تعريفاً.
مثال: برهن أن المتتالية an =  كوشية حسب التعريف.
الآن بملاحظة المقدار |an + p - an| = 
= 
Þ 
وباختيار N (e) =  يكون قد تم التعريف.
ملاحظات هامة:
1- إن شرط كوشي في التقارب لا يستلزم معرفة نهاية المتتالية المدروسة.
2- يستخدم شرط كوشي في البراهين والحالات النظرية أكثر مما يستخدم في حل التمارين وذلك لوجود أساليب عملية أسهل لإيجاد النهايات.